Question

已知橢圓的焦點為，，離心率為e，已知，e，成等比數列；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知P為橢圓上一點，求最大值．

Answer 1

解：（1）∵，e，成等比數列，
∴e²=×=，
∴e=；…（2分）
∵一個焦點F₁（0，-2），
∴c=2，則a=3，
∴b²=9-8=1，
∴橢圓的標準方程：x²+=1； …（6分）
（2）設點P的坐標為（x，y），則=（-x，-2-y），=（-x，2-y），
∴•=（-x，-2-y）•（-x，2-y）
=x²+y²-8…（8分）
∵P為橢圓上一點，由（Ⅰ）知x²+=1；
∴x²=1-，
∴•=x²+y²-8=-7…（10分）
∴當y=3時，•取得最大值1．…（12分）
分析：（1）由，e，成等比數列可求得e，而c=2，從而可求得a，繼而可得橢圓的標準方程；
（2）設點P的坐標為（x，y），可求得•=x²+y²-8，結合（1）中橢圓的標準方程即可求得，•的最大值．
點評：本題考查橢圓的標準方程即其性質，考查向量的數量積與坐標運算，考查等比數列的性質，屬于中檔題．