Question

設等比數列{a_n}的公比為q，前n項和為S_n．則“|q|=

2

”是“S₆=7S₂”的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：把|q|=

2

代入求和公式可知，前可退后；而由S₆=7S₂時，可解得q=-1，或q=±

2

，由充要條件的定義可得答案．

解答：解：當|q|=

2

時，S₆=

a1(1-( 2 )6)

1-| 2 |

=

-7a1

1-| 2 |

，
7S₂=7

a1(1-( 2 )2)

1-| 2 |

=

-7a1

1-| 2 |

，故S₆=7S₂；
當S₆=7S₂時，顯然q=1不合題意，當q≠1時，

a1(1-q6)

1-q

=7

a1(1-q2)

1-q

，即（1-q²）（q⁴+q²-6）=0，
解得q=-1，或q=±

2

，故不能推出“|q|=

2

”
故“|q|=

2

”是“S₆=7S₂”的充分不必要條件，
故選A

點評：本題參考充要條件的判斷，涉及等比數列的求和公式的應用，屬中檔題．