Question

已知等比數列{a_n}，S_n是其前n項的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設，求數列{b_n}的前n項和T_n
（III）比較（II）中T_n與（n=1，2，3…）的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設{a_n}的公比為q，則由題意知a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10，由此可知a_n=2^n-1．
（II）由題意知，，由此可知．
（III）由知當n=1、2時，T_n=；當n≥3時T_n＜．
解答：解：（I）設數列{a_n}的公比為q，則
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，則a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，則a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，
則1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，，
所以數列{b_n}是一個以為首項，1為公差的等差數列（5分）
∴
=
（III）∵（11分）
∴當n=1、2時，，即T_n=（12分）
當n≥3時，，即T_n＜（14分）
點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要注意審題，仔細解答．