Question

【題目】已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）在區間[﹣1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知∵f（x）是二次函數，且f（0）=f（2）

∴對稱軸為x=1

又最小值為1

設f（x）=a（x﹣1）2+1

又f（0）=3

∴a=2

∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3

（2）解：要使f（x）在區間[2a，a+1]上不單調，則2a＜1＜a+1

∴

（3）解：由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立

化簡得m＜x2﹣3x+1

設g（x）=x2﹣3x+1

則g（x）在區間[﹣1，1]上單調遞減

∴g（x）在區間[﹣1，1]上的最小值為g（1）=﹣1

∴m＜﹣1

【解析】（1）用待定系數法先設函數f（x）的解析式，再由已知條件求解未知量即可（2）只需保證對稱軸落在區間內部即可（3）轉化為函數求最值問題，即可得到個關于變量m的不等式，解不等式即可
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．