Question

如圖，已知點F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且

·

（I）求動點P的軌跡C的方程;

（II）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.

（1）已知的值;

(2)求||·||的最小值.

Answer 1

0,16

解析:

解法一：（I）設點P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：

(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：y²=4x.

(II)（1）設直線AB的方程為：

x=my+1(m≠0).

設A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),又M（-1,-）.

聯立方程組,消去x得：

y₂-4my-4=0,

=(-4m)²+12>0,

由得：

，整理得：

,

∴

=

=-2-

=0.

解法二：（I）由

∴·，

∴=0,

∴

所以點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y²=4x.

(II)(1)由已知

則：…………①

過點A、B分別作準l的垂線，垂足分別為A₁、B₁,

則有：…………②

由①②得：

（II）（2）解：由解法一：

·＝（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|

                       =(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)|+y_M²|

         =(1+m²)|-4+  ×4m+|

  =

                       =4(2+m²+)  4(2+2)=16.

當且僅當，即m=1時等號成立，所以·最小值為16.