Question

如圖，將長AA′=3

3

，寬AA₁=3的矩形沿長的三等分線處折疊成一個三棱柱，如圖所示：
（1）求平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值；
（2）求三棱錐A₁-APQ的體積．

Answer 1

分析：（1）由題設知三棱柱ABC-A1B1C1  是正三棱柱，且側棱AA₁=3，底面邊長為

3

，BP=1，CQ=2，由此能求出平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值．
（2）連接A₁P，由△A₁AP的面積為

3 3

2

，知點Q到平面A₁AP的距離為

3

2

，利用VA1-APQ=VQ-A1AP，能求出三棱錐A₁-APQ的體積．

解答：解：（1）將長AA′=3

3

，寬AA₁=3的矩形沿長的三等分線處折疊成一個三棱柱，
∴三棱柱ABC-A1B1C1  是正三棱柱，且側棱AA₁=3，
底面邊長為

3

，BP=1，CQ=2，
延長QP交BC的延長線于點E，連接AE，
則AE⊥AC于A，QA⊥AE，
∴∠QAC為平面APQ與平面ABC所成的銳二面角的平面角，
∵AC=

3

，
∴tan∠QAC=

QC

AC

=

2

3

=

2 3

3

，
∴平面APQ與底面ABC所成二面角的正切值為

2 3

3

．
（2）連接A₁P，
△A₁AP的面積為

3 3

2

，點Q到平面A₁AP的距離為

3

2

，
則VA1-APQ=VQ-A1AP=

1

2

×

3

2

×

3 3

2

=

3 3

4

．

點評：本題考查二面角的正切值的求法，考查棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．