Question

在(

x

-

2

3 x

)n的展開式中，已知第5項的系數與第3項的系數之比是56：3．
（1）求展開式中所有項的系數之和及奇數項的二項式系數之和；
（2）求展開式中的所有有理項；
（3）求展開式中系數絕對值最大的項．
注：所涉及的系數均用數字作答．

Answer 1

分析：（1）利用第5項的系數與第3項的系數之比是56：3，求出n的值，即可通過x=1求展開式中所有項的系數之和及奇數項的二項式系數之和；
（2）通過二項式定理的通項公式，利用x的指數為0，求出展開式中的所有有理項；
（3）通過

C 10 r 2r≥ C 10 r-1 2R-1 C 10 r 2r≥ C 10 r+1 2r+1

求展開式中系數絕對值最大的項．

解答：（本題共3小題，第一小題（6分），第二小題（5分），第三小題（5分），共16分）
解：（1）由

C

4 n

(-2)4：

C

2 n

(-2)2=56：3，解得n=10…（2分）
所有項的系數之和為（1-2）¹⁰=1…（2分）
奇數項的二項式系數之和為2^10-1=512…（2分）
（2）因為通項：Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

2

3 x

)r=(-2)r

C

r n

x5-

5r

6

…（2分）
當5-

5r

6

為整數，r可取0，6…（1分）
展開式是常數項，于是有理項為T₁=x⁵和T₇=13400…各（1分）
（3）設第r+1項系數絕對值最大，則

C r 10 2r≥ C r-1 10 2R-1 C r 10 2r≥ C r+1 10 2r+1

…（2分）
注：等號不寫扣（1分）
解得

r≤ 22 3 r≥ 19 3

，于是r只能為7…（2分）
所以系數絕對值最大的項為T8=-15360x-

5

6

…（1分）

點評：本題是中檔題，考查二項式定理系數的性質，通項公式的應用，考查計算能力．