Question

（選修4-5：不等式選講）
已知函數f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（Ⅰ）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）設a＞-1，且當時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．設y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，畫出函數y的圖象，數形結合可得結論．
（Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a-2對都成立．故-≥a-2，由此解得a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=-2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．
設y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，則 y=，它的圖象如圖所示：
結合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．
（Ⅱ）設a＞-1，且當時，f（x）=1+a，不等式化為 1+a≤x+3，故 x≥a-2對都成立．
故-≥a-2，解得 a≤，故a的取值范圍為（-1，]．
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，函數的單調性的應用，體現了數形結合以及轉化的數學思想，屬于中檔題．