【題目】已知
，函數
，
，若函數
有4個零點，則實數
的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
畫出函數
的圖像，對
分成
，
等
種情況，研究
零點個數，由此求得的取值范圍.
令
，畫出函數的圖像如下圖所示，由圖可知，
（1）當
或
時，存在唯一
，使
，而
至多有兩個根，不符合題意.
（2）當
時，由
解得
，由化簡得
，其判別式為正數，有兩個不相等的實數根；由
化簡得
，其判別式為正數，有兩個不相等的實數根.由于上述四個實數根互不相等，故時，符合題意.
（3）當
時，由
解得
，由化簡得
，其判別式為負數，沒有實數根；由化簡得
，其判別式為正數，有兩個不相等的實數根.故當時，不符合題意.
（4）當
時，由
，根據圖像可知有三個解，不妨設
.
即
即
.
i）當
時，
，故①②③三個方程都分別有
個解，共有
個解，不符合題意.
ii)當
時，
，①有
個解，②③分別有個解，共有
個解，不符合題意.
iii）當
時，
，①無解，②③分別有個解，共有
個解，符合題意.
iv）當
時，
，①無解，②有個解，③有兩個解，共有
個解，不符合題意.
v）當
時，
，①無解，②無解，③至多有個解，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某旅游勝地欲開發一座景觀山，從山的側面進行勘測，迎面山坡線
由同一平面的兩段拋物線組成，其中
所在的拋物線以
為頂點、開口向下，
所在的拋物線以
為頂點、開口向上，以過山腳（點）的水平線為
軸，過山頂（點）的鉛垂線為
軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知所在拋物線的解析式
，所在拋物線的解析式為
（1）求
值，并寫出山坡線的函數解析式；
（2）在山坡上的700米高度（點
）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站，索道的起點選擇在山腳水平線上的點
處，
（米），假設索道
可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線
當索道在上方時，索道的懸空高度有最大值，試求索道的最大懸空高度；
（3）為了便于旅游觀景，擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階，臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．試求出前三級臺階的長度（精確到厘米），并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳，簡述理由？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于給定的正整數
，若數列
滿足
對任意正整數
恒成立，則稱數列是
數列，若正數項數列
，滿足：
對任意正整數恒成立，則稱是
數列；
（1）已知正數項數列是
數列，且前五項分別為
、
、
、
、
，求的值；
（2）若
為常數，且是
數列，求
的最小值；
（3）對于下列兩種情形，只要選作一種，滿分分別是 ①
分，②
分，若選擇了多于一種情形，則按照序號較小的解答記分.
① 證明：數列是等差數列的充要條件為“既是數列，又是
數列”；
②證明：正數項數列是等比數列的充要條件為“數列既是
數列，又是
數列”.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：若函數
對任意的
，都有
成立，則稱為
上的“淡泊”函數.
（1）判斷
是否為
上的“淡泊”函數，說明理由；
（2）是否存在實數
，使
為
上的“淡泊”函數，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由；
（3）設是
上的“淡泊”函數（其中不是常值函數），且
，若對任意的
，都有
成立，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，
，點
、
分別在線段
、
上，且
，其中
，連接
，延長與
的延長線交于點
，連接
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若
時，求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）若直線
與平面
所成角的正弦值為
時，求
值．
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