Question

某糖果廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上40件產品作為樣本，它們的質量（單位：克）的分組區間為（990，995]，（995，1000]，…（1010，1015]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（Ⅰ）求圖中x的值，并由此估計：從該流水線上任取一件產品其質量在1000～1010克的概率；
（Ⅱ）從該流水線上任取3件產品（可看作有放回的產品抽樣），其中恰有X件產品的質量在1000～1010克，求隨機變量X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）根據頻率分布直方圖的矩形面積和為1，建立等式求出x的值即可，然后求出在1000～1010上的矩形面積，從而估計從該流水線上任取一件產品其質量在1000～1010克的概率；
（II）由頻率分布直方圖中各組的頻率，我們易得X～B（3，0.6）．然后將數據代入后，可分別算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，即可得到隨機變量X的分布列，然后代入數學期望公式，可進而求出數學期望．

解答：解：（I）∵（0.01+0.03+0.04+0.05+x）×5=1
∴x=0.07
在1000～1010上的矩形面積為（0.07+0.05）×5=0.6
∴估計從該流水線上任取一件產品其質量在1000～1010克的概率為0.6；
（II）由題意知，X～B（3，0.6）．
因此P（X=0）=C₃⁰×0.4³=0.064，
P（X=1）=C₃¹×0.6×0.4²=0.288，
P（X=2）=C₃²×0.6²×0.4=0.432，
P（X=3）=C₃³×0.6³=0.216．
故隨機變量X的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

∴E（X）=1×0.288+2×0432+3×0.216=1.8

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望和分布列，以及頻率分布直方圖，同時考查了識圖能力，屬于中檔題．