Question

（2010•連云港三模）已知數列{a_n}滿足a₁=1，an=an-1+

1

an-1

(n≥2，n∈N*)．求證：

2n-1

＜an＜

3n-1

．

Answer 1

分析：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．解答時應用數學歸納法，首先驗證當n=2時，然后假設當n=k（k≥2，k∈N*）時，不等式成立，再分析當n=k+1時的情況，此時要注意一定要用上假設．最后下好結論即可．

解答：證明：記所證不等式為（*）式，用數學歸納法證明如下：
（1）當n=2時，∵a₁=1∴a2=a1+

1

a1

=2
∵

3

＜a2＜

5

∴（*）式成立．
（2）假設當n=k（k≥2，k∈N*）時，（*）式成立，
即有

2k-1

＜ak＜

3k-1

那么，當n=k+1時，
令y=x+

1

x

（x＞1）∵y′=1-

1

x2

＞0∴y=x+

1

x

在（1，+∞）上是單調增函數，
而(

2k-1

 ， 

3k-1

)⊆(1 ， +∞)
∴

2k-1

+

1

2k-1

＜ak+

1

ak

＜

3k-1

+

1

3k-1

即

2k-1

+

1

2k-1

＜ak+1＜

3k-1

+

1

3k-1

先證

2k+1

＜

2k-1

+

1

2k-1

①
兩邊同乘

2k-1

，即證

4k2-1

＜2k-1+1
即證4k²-1＜4k²上式成立，∴①式成立．
再證

3k-1

+

1

3k-1

＜

3k+2

②
兩邊同乘

3k-1

即證3k-1+1＜

(3k-1)(3k+2)

即證9k²＜9k²+3k-2∵k≥2∴上式成立，則②式成立．
則

2k+1

＜ak+1＜

3k+2

∴當n=k+1時，（*）式也成立，
根據（1），（2）知，（*）式成立．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．解答時的過程當中充分體現了數學歸納法的思想、計算的能力以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．