Question

在數列{a_n}中，S_n是其前n項和，已知a₁=1，a₂=3，且當n≥2時，．
（I）求證：數列{S_n}是等比數列；
（II）記，數列{b_n}的前n項和為T_n，求使等式成立的n和整數λ的值．

Answer 1

解：（I）當n≥2時，=
整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）
由S₁=1≠0，S₂=4≠0可知對一切正整數n都有S_n≠0
數列S_n是等比數列
（II）由（I）知數列S_n是首項為1，公比為4的等比數列，S_n=4^n-1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
故當n≥2時，==
又
當n≥2時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=+
=
若n=1，代入可得不是整數，故舍去
若n≥2時，?
因為λ是整數
4^n-1+1是5的約數當且僅當n=2時符合條件
此時，λ=4，n=2
分析：（I）當n≥2時，由已知利用遞推公式可得=
整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），從而可證
（II）由（I）知，數列S_nS_n=4^n-1進而可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
代入可求，==
又容易求得T_n=b₁+b₂+…+b_n=，代入所求的式子整理可求 n，λ
點評：本題主要考查了等比數列的證明，利用遞推公式求解數列的通項公式及數列的求和，屬于綜合試題．