Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點M是A₁B中點，點N是B₁C的中點，連接MN．
（I）證明：MN∥平面ABC；
（II）若AB=1，，求二面角A-A₁C-B的余弦值的大小．

Answer 1

（1）證明：連接AB₁
∵四邊形A₁ABB₁是矩形，點M是A₁B的中點
∴點M是AB₁的中點
∵點N是B₁C的中點
∴MN∥AC
∵MN?平面ABC，AC?平面ABC
∴MN∥平面ABC
（Ⅱ）解：（方法一）如圖作AD⊥A₁C，交A₁C于點D，由條件知點D是A₁C中點，連接BD
∵AB=1，AC=AA₁=，BC=2
∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC
∵AB⊥AA₁，AA₁∩AC=A
∴AB⊥面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴A₁C⊥面ABD
∴BD⊥A₁C
∴∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角
在Rt△AA₁C中，AD=∵BC=BA₁=2，A₁C=6，在等腰三角形CBA₁中D是A₁C中點，BD=
∴△ABD中，∠BAD=90°
∵在Rt△ABD中，tan∠ADB=
∴二面角A-A₁C-B的余弦值是
（方法二）∵三棱錐ABC-A₁B₁C₁為直三棱錐
∴AB⊥AA₁，AC⊥AA₁
∵AB=1，AC=，BC=2
∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC
如圖建立空間直角坐標系則A（0，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），A₁（0，0，）
如圖可取==（0，1，0）為平面AA₁C的法向量
設平面A₁BC的法向量為=（m，l，n）則，
又，
∴
∴l=m，n=m不妨取m=1則
∴cos＜＞=
∴二面角A-A₁C-B的余弦值是
分析：（1）連接AB₁則易得點M是AB₁的中點，點N是B₁C的中點故根據中位線定理可得MN∥AC然后利用線面平行的判定定理即可得證．
（2）（法一）作AD⊥A₁C，交A₁C于點D，由條件知點D是A₁C中點，連接BD則根據題中條件可得AB⊥AC，AB⊥AA₁，再結合線面垂直的判定定理可得AB⊥面ACC₁A₁故AB⊥A₁C所以A₁C⊥面ABD所以BD⊥A₁C故∠ADB為二面角A-A₁C-B的平面角然后再解三角形求出cos∠ADB．
（法二）易得AB⊥AC，AB⊥AA₁，AC⊥AA₁，故可建立如圖所示的空間直角坐標系然后求出平面AA₁C的法向量，平面A₁BC的法向量然后利用向量的夾角公式cos＜＞=即可求解．
點評：本題主要考查了線面平行的證明以及二面角的求解，屬必考題，較難．解題的關鍵是透徹理解線面平行的判定定理和二面角的定義同時要注意空間向量法在求解二面角中點應用！