Question

（2010•合肥模擬）某企業生產一種風險較大的高科技產品M，要用甲和乙兩種初級產品組合而成，甲和乙兩種初級產品生產相互獨立，每種初級產品生產結果均有A、B兩個等級． 若隨機的選用甲、乙兩種初級產品各一個組裝成一個產品M，甲和乙兩種初級產品均為A級時組合而成產品M為合格品，其余均為次品．該廠在生產甲和乙兩種初級產品時的等級概率如表：
（Ⅰ）求該產品M為合格品的概率；
（Ⅱ）由于產品M受國家強制認證，只有合格品被允許進入市場銷售，其余產品必須銷毀，已知生產一件產品M可獲利1500萬元，銷毀一件產品M損失400萬元，預計今年該廠生產甲、乙初級產品各3件，求今年該廠生產產品M獲純利潤的數學期望．

Answer 1

分析：（I）當甲產品合格，乙產品合格兩個獨立事件同時發生時，產品M為合格品，故概率相乘即可；
（II）先設該廠生產合格品件數為隨機變量ξ，則ξ服從二項分布，從而求得ξ的期望，再利用隨機變量的線性關系求利潤Y的期望

解答：解：（Ⅰ）設“產品M為合格品”為事件X
則P（X）=

9

10

×

8

9

=

4

5

．
所以該產品M為合格品的概率

4

5

．
（Ⅱ）設今年該廠生產產品M為合格品、次品分別為ξ、3-ξ件，由題意可知ξ可取0、1、2、3，則

P(ξ=0)=(

1

5

)3=

1

53

，P(ξ=1)=

C

3 1

(

1

5

)2(

4

5

)1=

3×4

53

，P(ξ=2)=

C

3 2

(

1

5

)1(

4

5

)2=

3×42

53

，P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

5

)0(

4

5

)3=

43

53

∴ξ～B(3，

4

5

)，
則Eξ=3×

4

5

=

12

5

，E(3-ξ)=3-E(ξ)=3-

12

5

=

3

5

所以今年該廠生產產品M獲純利潤Y的數學期望E（Y）=1500Eξ-400×E（3-ξ）=3360萬元．

點評：本題考查了獨立事件同時發生的概率計算，離散型隨機變量的概率分布，二項分布的數學期望，隨機變量間的線性關系及其應用