Question

已知函數f（x）=x²+ax+2b的一個零點在（0，1）內，另一個零點在（1，2）內，求：
（1）

b-2

a-1

的值域；
（2）（a-1）²+（b-2）²的值域．

Answer 1

分析：由題意知

f(0)＞0  f(1)＜0 f(2)＞0

，化簡得約束條件，再利用數形結合的方法求解．
（1）表達式

b-2

a-1

表示過（a，b）和（1，2）的直線的斜率；
（2）表達式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距離的平方．

解答：解：由題意知

f(0)＞0  f(1)＜0 f(2)＞0

，則其約束條件為：

b＞0  1+a+2b＜0 2+a+b＞0

∴其可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）構成的三角形．
∴（a，b）活動區域是三角形ABC中，
（1）令k=

b-2

a-1

，則表達式

b-2

a-1

表示過（a，b）和（1，2）的直線的斜率，
∴斜率k_max=

2-0

1+1

=1，k_min=

2-1

1+3

=

1

4

故

b-2

a-1

的值域為：（

1

4

，1）；
（2）令p=（a-1）²+（b-2）²
則表達式（a-1）²+（b-2）²表示（a，b）和（1，2）距離的平方，
∴距離的平方p_max=（-3-1）²+（1-2）²=17，p_min=（

|1+4+1|

1+4

）2=

36

5

∴（a-1）²+（b-2）²的值域為：（

36

5

，17）．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數的關系，其中根據方程的根與對應零點之間的關系，得到關于a，b的約束條件是解答本題的關鍵．如果從單純的代數角度解決本題，難度很大，若能根據表達式的形式或代表的意義聯想到其對應的幾何圖形，則解決問題就可以取得事半功倍的效果．