Question

如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花，若BC＝a，∠ABC＝θ，設△ABC的面積為S₁，正方形的PQRS面積為S₂.
 
(1)用a，θ表示S₁和S₂；
(2)當a固定，θ變化時，求的最小值．

Answer 1

（1）S₁＝a²sin 2θ，S₂＝（2）

(1)S₁＝asin θ·acos θ＝a²sin 2θ，
設正方形邊長為x，則BQ＝，RC＝xtan θ，
∴＋xtan θ＋x＝a，
∴x＝，(4分)
S₂＝，(6分)
(2)當a固定，θ變化時，＝，
令sin 2θ＝t，
則＝ (0＜t≤1)，
利用單調性求得t＝1時，_min＝.(14分)