Question

已知函數f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]
（1）當θ=

π

6

時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調增函數，且θ∈[0，2π），求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題目條件，可以確定函數的解析式f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

，從而利用二次函數的單調性求得函數f（x）的最大值和最小值；
（2）由f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調增函數，利用對稱軸與給定區間的關系，求出-sinθ≤-

3

2

，即可得到θ的取值范圍．

解答：解（1）θ=

π

6

時，f(x)=x2+x-1=(x+

1

2

)2-

5

4

由x∈[-

3

2

，

1

2

]，當x=-

1

2

時，f（x）有最小值為-

5

4

當x=

1

2

時，f（x）有最大值為-

1

4

（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的圖象的對稱軸為x=-sinθ，
由于f（x）在x∈[-

3

2

，

1

2

]上是單調增函數      
所以-sinθ≤-

3

2

，
即sinθ≥

3

2

，又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范圍是[

π

3

，

2π

3

]．

點評：本題主要考查了二次函數的單調性，利用配方求得其對稱軸，結合函數的圖象直觀形象，是個中檔題．