Question

已知函數+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的導函數．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，f（x））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f'（x）-ax-4，若對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率與直線2x-y+1=0的斜率相等，從而求出a的值；
（II）先求出函數g（x）的解析式，令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，因為對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立等價于對一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立，然后建立不等關系，解之即可求出x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4x²+a，
f'（1）=4+a=2，
所以a=-2．

（Ⅱ）g（x）=f'（x）-ax-4=4x²-ax+a-4，
令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，
因為對一切|a|≤1，
都有g（x）＜0恒成立等價于對一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立．
所以即解得．
則當時，對一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于基礎題．