Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求證：直線BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）已知M在線段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因為四邊形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． ………………1分

    又因為PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BD， …3分

       又因為，所以BD⊥平面PAC． ………………4分

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】(I)由條件易知AC⊥BD,然后再證PA⊥BD即可.

（II）本小題關鍵是找或做出PB與平面PAD所成的角，過B作，連結PE，

因為PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BE，又因為，，所以BE⊥平面PAD．所以是直線與平面所成角．過B作，連結PE，

因為PA⊥平面ABCD，   平面ABCD，  所以PA⊥BE

又因為，，所以BE⊥平面PAD． ………………５分

所以是直線與平面所成角． ………………６分

在△BEP中， ，， ………………７分

所以．

所以是直線與平面所成角的正切值． ………………８分

（Ⅲ）設F是ＭＣ的中點，連結ＢＦ，ＤＦ，

因為ＢＭ＝ＢＣ，△ＢＭＣ為等腰△，

所以ＢＦ⊥ＭＣ  同理ＤＦ⊥ＭＣ                 ………………9分

所以為二面角的平面角．………１０分

在△中，………………１１分

由余弦定理得．

所以二面角的余弦值為．………………１2分