Question

在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月生產x臺某種產品的收入為R（x）元，成本為C（x）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=600x+4000（x∈N^*），現已知該公司每月生產該產品不超過100臺，（利潤=收入-成本），則利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差為

 

元．

Answer 1

分析：本題是信息型應用題，解決的關鍵是MP（x）表達式的確定及其在實際問題中的作用的理解．

解答：解：設利潤函數為P（x），邊際利潤函數為MP（x）．
則P（x）=R（x）-C（x）
=3000x-20x²-（600x+4000）=-20x²+2400x-4000（x∈[1，100]，x∈N）．
MP（x）=P（x+1）-P（x）
=-20（x+1）²+2400（x+1）-4000-（-20x²+2400x-4000）
=2380-40x（x∈[1，100]，x∈N）．
P（x）=-20（x-60）²+68000，
當x=60時，P（x）_max=68000（元）．
∵MP（x）=2380-40x是減函數，∴當x=1時MP（x）_max=2340（元）．
故利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）的最大值之差為68000-2340=65660．
故答案為：65660．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了簡單的數學建模思想方法，訓練了利用配方法求函數的最值，是中檔題．