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定義在（0，+∞）上的單調遞增函數f（x）滿足：f（x）的導函數存在，且
f(x)
f′(x)
＜x，則下列不等式成立的是（　　）
分析：由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調遞增函數得到f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，則
f(x)
f′(x)
＜x變形為xf′（x）-（x）＞0，由此想到構造輔助函數g（x）=
f(x)
x
，利用導數分析出該函數的單調性，從而得到要選擇的結論．
解答：解：f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數，故f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
所以
f(x)
f′(x)
＜x可化成xf′（x）-（x）＞0
設g（x）=
f(x)
x
，
得到g′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2
＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增．
故g（3）＞g（2），即
f(3)
3
＞
f(2)
2
．
即2f（3）＞3f（2）．
故選D．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，解答的關鍵在于正確構造函數g（x）=
f(x)
x
并能熟練掌握商的求導法則，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在（0，1）上的函數f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)記an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，則在數列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關于函數f（x）判斷正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•順義區二模）已知定義在區間[0，
3π
2
]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區間[0，
3π
2
]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•湖州二模）定義在（0，
π
2
）上的函數f（x），f′（x）是它的導函數，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，則（　　）

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同步練習冊答案
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