Question

設函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，且與直線y=0在原點處相切，此切線與函數圖象所圍區域的面積為

27

4

．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）設m＞1，如果過點（m，n）可作函數y=f（x）的圖象的三條切線，求證：1-3m＜n＜f（m）．

Answer 1

分析：（1）題中給出了函數的面積，故我們可以從定積分著手，求出函數以及函數與x軸的交點，建立等式求解參數，即可求出函數y=f（x）的解析式；
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x，設函數在點（t，f（t））處的切線方程為y=（3t²-6t）（x-t）+（t³-3t²）．若切線過點（m，n），則存在實數t，使n=（3t²-6t）（m-t）+（t³-3t²），即2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0．如果過點（m，n）可作函數y=f（x）的圖象的三條切線，從而方程2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0有三個相異的實數根，故可證1-3m＜n＜f（m）

解答：解：（1）由圖可知函數的圖象經過（0，0）點
∴c=0，
又圖象與x軸相切于（0，0）點，f′（x）=3x²+2ax+b
∴0=3×0²+2a×0+b，得b=0．
∴f（x）=x³+ax²
故方程可以繼續化簡為f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a（a＜0）
可以得到圖象與x軸交點為（0，0）（-a，0）
故對-f（x）從0到-a求定積分即為所求面積，即

∫

-a 0

(-x3-ax2)dx=

a4

3

-

a4

4

=

a4

12

=

27

4

∴a=-3．（由圖象知a=3舍去）
故f（x）=x³-3x²
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x，
設函數在點（t，f（t））處的切線方程為y=（3t²-6t）（x-t）+（t³-3t²）．
若切線過點（m，n），則存在實數t，使n=（3t²-6t）（m-t）+（t³-3t²），
即2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0．                       
令g（t）=2t³-（3m+3）t²+6mt+n，則g′（t）=6t²-6（m+）t+6m=6（t-m）（t-1）．
∵m＞1
∴當t＜1或t＞m時，g′（t）＞0；當1＜t＜m時，g′（t）＜0．
∴g（t）在t=1時取得極大值g（1）=3m+n-1，
在t=m時取得極小值g（m）=n-f（m）
如果過點（m，n）可作函數y=f（x）的圖象的三條切線，
則方程2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0有三個相異的實數根，
∴

g(1)=3m+n-1＞0 g(m)=n-f(m)＜0

∴1-3m＜n＜f（m）

點評：本題以函數為載體，考查定積分知識的運用，考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的極值，綜合性強．