Question

等差數列{a_n}的前n項和分別為S_n=An²+n，且S₂=6；函數y=g(x)是函數f(x)=2x的反函數，且c_n=g(c_n-1)(n∈N，n＞1)，c₁=1．

(1)求常數A的值及函數y=g(x)的解析式；

(2)求數列{a_n}及{c_n}的通項公式；

(3)若d_n=，試求d₁+d₂+…+d_n．

Answer 1

解：(1)由S₂=6知：4A+2=6  解得A=1

令y=2x  得x=，即g(x)=  

(2)當n=1時，a₁=S_l=2，

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[(n-1)²+(n-1)]=2n

綜合之：a_n=2n

由題意得:c_n=c_n-1

∴數列{c_n}是為公比，以c₁=1為首項的等比數列.

∴c_n=()^n-1

（3）當n=2k+1時，d₁+d₂+…+d_n

=(a₁+a₃+…+a_2k+1)+(c₂+c₄+…+c_2k)

=2(k+1)²+[1-()^k]

=2()²+[1-]

當n=2k時，d₁+d₂+…+d_n

=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+(c₂+c₄+…+c_2k)

=(2k+1)k+[1-()^k]

=

綜合之：d₁+d₂+…+d_n

=