Question

設函數(shù)f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，討論g（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為”函數(shù)在x=0處取得極值“，則有f'（0）=0，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0相互垂直”，則有f'（1）=2，從而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：，令g'（x）=0，有x²-2x+k=0，因為還有參數(shù)k，由一元二次方程，分三種情況討論，（1）當△=4-4k＜0，函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，（2）當△=4-4k=0，g（x）在R上為增函數(shù)（3）△=4-4k＞0，方程x²-2x+k=0有兩個不相等實根，則由其兩根來構建單調區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0處取得極限值，故f'（x）=0，從而b=0由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0相互垂直可知
該切線斜率為2，
即f'（1）=2，有2a=2，從而a=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
、
令g'（x）=0，有x²-2x+k=0（8分）
（1）當△=4-4k＜0，即當k＞1時，g'（x）＞0在R上恒成立，故函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)（10分）
（2）當△=4-4k=0，即當k=1時，，K=1時，g（x）在R上為增函數(shù)（12分）
（3）△=4-4k＞0，即當0＜k＜1時，方程x²-2x+k=0有兩個不相等實根
當是g'（x）＞0，故g（x）在上為增函數(shù)
當時，g'（x）＜0，故g（x）在上為減函數(shù)
當時，g'（x）＞0，故g（x）在上為增函數(shù)（14分）
點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值及函數(shù)的單調性．綜合性較強，充分考查了函數(shù)方程不等式三者的內在聯(lián)系與轉化．