Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，弦PQ過左焦點F，且OP⊥OQ（O為坐標原點）求橢圓的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：設出P和Q及橢圓的左焦點F的坐標，分兩種情況：①當PQ垂直于x軸時，把x=-c代入橢圓方程，求出|PF|的長度，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到|OF|等于|FP|，即c等于|PF|列出關于a與c的方程，兩邊都除以e的平方后轉化為關于e的方程，求出方程的解即可得到e的值；②當PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的斜率為k，根據F（-c，0）和設出的k，寫出直線PQ的方程，與橢圓方程聯立消去y后，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理分別表示出P，Q橫坐標之和及之積，然后表示出P，Q的縱坐標之積，因為OP⊥OQ，得到斜率乘積為-1，化簡后得到P，Q的橫坐標之積與縱坐標之積的和為0，分別代入得到一個關于k，a和c的等式，解出k的平方的式子，由k的平方大于0列出關于a與c的不等式，變形后即可得到離心率e的取值范圍．綜上，得到所有滿足題意的橢圓的離心率e的取值范圍．

解答：解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-c，0），
分兩種情況：①若PQ⊥x軸時|PF|=

b2

a

，
∵|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，
∴|OF|=|FP|，
∴C=

b2

a

，即ac=a²-c²，即e²+e-1=0，
∴e＞0，解得：e=

5 -1

2

；
②若PQ不垂直x軸時，設直線PQ：y=k（x+c），
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得：（b²+a²k²）x²+2k²a²cx+k²a²c²-a²b²=0，
∵

x1x2= k2a2c2-a2b2 b2+a2k2 x1+x2= -2k2a2c b2+a2k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁+c）（x₂+c）=k²[x₁x₂+c（x₁+x₂）+c²]
=k2

k2a2c2-a2b2+c2b2+c2a2k2-2k2a2c2

b2+a2k2

=

-k2b4

b2+a2k2

，
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²a²c²-a²b²-k²b⁴=0，
∴k²=

a2b2

a2c2-b4

＞0，
∴a²c²＞b⁴=（a²-c²）²
∴

5 -1

2

＜e＜1，
綜上：

5 -1

2

≤e＜1．

點評：此題考查學生掌握橢圓的簡單性質，靈活運用韋達定理及兩直線垂直時斜率的關系化簡求值，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．