Question

一組數據4，7，10，s，t的平均數是7，n是這組數據的中位數，設f(x)=(

1

x

-x2)n．
（1）求f（x）的展開式中x^-1的項的系數；
（2）求f（x）的展開式中系數最大的項和系數最小的項．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得s+t=14，這組數據的中位數是7可求得n=7；
（2）f（x）的展開式中共8項，其中第4項和第5項的二項式系數最大，從而可求得最大項與最小項．

解答：解：（1）依題意有：

4+7+10+s+t

5

=7得：s+t=14，
不妨設s≥t，則s≥7，t≤7，則這組數據的中位數是7，故n=7，
f（x）的展開式中T_k+1=

C

k 7

（x^-1）^7-k（-x²）^k=

C

k 7

（-1）^kx^3k-7，
3k-7=-1⇒k=2，
故展開式中x^-1的項的系數為

C

2 7

（-1）²=21-------（6分）
（2）f（x）的展開式中共8項，其中第4項和第5項的二項式系數最大，
而第5項的系數等于第5項二項式系數，故第5項的系數最大，
即最大項為T₅=

C

4 7

(x-1)3(-x2)4=35x⁵，
第4項的系數等于第4項二項式系數的相反數，故第4項的系數最小，
即最小項為T₄=

C

3 7

(x-1)4(-x2)3=-35x²----（12分）

點評：本題考查二項式定理，考查眾數、中位數、平均數，求得n=7是關鍵，也是難點，屬于難題．