Question

設實數(shù)x、y滿足x²+（y-1）²=1，令

x=cosθ y=1+sinθ

(θ∈R)，若x+y+c＞0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦公式化簡x+y為

2

sin(θ+

π

4

)+1，要使x+y+c＞0恒成立，需c＞-

2

sin(θ+

π

4

)-1恒成立，故c 應大于-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值，由正弦函數(shù)的值域知-

2

sin(θ+

π

4

)-1 的最大值等于

2

-1，從而得到c的取值范圍．

解答：解：由題意可得 x+y=cosθ+sinθ+1=

2

sin(θ+

π

4

)+1，
要使x+y+c＞0恒成立，需 c＞-

2

sin(θ+

π

4

)-1恒成立，
故 c 大于-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值．
而-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值為

2

-1，故c＞

2

-1，
故實數(shù)c的取值范圍為（

2

-1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，正弦函數(shù)的最值的求法，得到c 大于-

2

sin(θ+

π

4

)-1的最大值，是解題的關鍵．