Question

已知函數f（x）=alnx-bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）函數g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有兩解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則可得f′（x），由題意可得

f′(1)=2 2×1-f(1)-3=0

，解出即可；
（2）分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出其單調區間；
（3）利用導數的運算法則可得g′（x），列出表格，要滿足條件，則g（x）_max＞0，g(

1

e

)≤0，g（2）≤0即可．

解答：解：（1）∵f（x）=alnx-bx²，（x＞0），∴f′(x)=

a

x

-2bx，
∵函數f（x）=alnx-bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0，
∴

2×1-f(1)-3=0 k切線=f′(1)=2

即

f(1)=-1 f′(1)=a-2b=2

，
∴

-b=-1 a-2b=2

，
∴a=4，b=1，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=4lnx-x²
（2）∵函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∴由（1）有f′(x)=

4

x

-2x，
令f′(x)＞0，即

4

x

-2x＞0，解得：0＜x＜

2

令f′(x)＜0，即

4

x

-2x＜0，解得：x＞

2

…（7分）
∴函數f（x）的單調增區間是(0，

2

)；單調減區間是(

2

，+∞)．
（3）由（1）可知：g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞4），
∴g′(x)=

4

x

-2x=-

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
令g′（x）=0，解得x=

2

或-

2

(舍去)．
∴當x變化時，如下表：
可得函數的大致圖象：
由圖象可知：要使方程g（x）=0在[

1

e

，2]上恰有兩解，則

m-2＞0 g( 1 e )≤0 g(2)≤0

，
即

m＞2 m≤4+2ln2+ 1 e2 m≤4-2ln2

，解得2＜m≤4-2ln2，
∴實數m的取值范圍是（2，4-2ln2]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、導數的幾何意義等是解題的關鍵．