Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間，并求出f（x）在區間[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，從而得到切線的斜率，建立等式關系，再根據切點在函數圖象建立等式關系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值．

解答：解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1，
由題意得．f′（1）=1-2a+a²-1=-1得：a=1，
則f（x）=

1

3

x³-x²+b
而f（1）=

1

3

-1+b=2，解得b=

8

3

（2）f′（x）=x²-x=0得：x=1或x=0，

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，4）	4
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4	增	極大值 8 3	減	極小值2	增	8

由列表得，f(x)極大值=f(0)=

8

3

，f(x)極小值=f(1)=2
而f（-2）=-4，f（4）=8，
所以，函數f（x）的單調增區間為（-∞，0），（1，+∞），單調減區間為（0，1）
f（x）在區間[-2，4]上的最大值8．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區間上函數的最值等基礎題知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．