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(2011•西城區一模)將1,2,3,…,n這n個數隨機排成一列,得到的一列數a1,a2,…,an稱為1,2,3,…,n的一個排列;定義τ(a1,a2,…,an)=|a1-a2|+|a2-a3|+…|an-1-an|為排列a1,a2,…,an的波動強度.
(Ⅰ)當n=3時,寫出排列a1,a2,a3的所有可能情況及所對應的波動強度;
(Ⅱ)當n=10時,求τ(a1,a2,…,a10)的最大值,并指出所對應的一個排列;
(Ⅲ)當n=10時,在一個排列中交換相鄰兩數的位置稱為一次調整,若要求每次調整時波動強度不增加,問對任意排列a1,a2,…,a10,是否一定可以經過有限次調整使其波動強度降為9;若可以,給出調整方案,若不可以,請給出反例并加以說明.
分析:(I)當n=3時,列舉出所有的可能為1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1.根據所給的公式做出波動強度.
(II)要求的結果轉化為±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10,在上述18個±中,有9個選正號,9個選負號,其中a1,a10出現一次,a2,a3,…,a9各出現兩次.使τ(a1,a2,…,a10)最大,應使第一個和最大,第二個和最小,得到結果.
(III)可以舉例說明對任意排列a1,a2,…,a10,不可以經過有限次調整使其波動強度降為9.
解答:解:(Ⅰ)n=3時,排列a1,a2,a3的所有可能為1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1;…(2分)
τ(1,2,3)=2;τ(1,3,2)=3;τ(2,1,3)=3;
τ(2,3,1)=3;τ(3,1,2)=3;τ(3,2,1)=2.…(4分)
(Ⅱ)τ(a1,a2,…,a10)=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a9-a10|
上式轉化為±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10
在上述18個±中,有9個選正號,9個選負號,其中a1,a10出現一次,a2,a3,…,a9各出現兩次.…(6分)
所以τ(a1,a2,…,a10)可以表示為9個數的和減去9個數的和的形式,
若使τ(a1,a2,…,a10)最大,應使第一個和最大,第二個和最小.
所以τ(a1,a2,…,a10)最大為:(10+10+9+9+8+8+7+7+6)-(1+1+2+2+3+3+4+4+5)=49.…(8分)
所對應的一個排列為:5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.(其他正確的排列同等給分) …(9分)
(Ⅲ)不可以.
例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6,除調整1,2外,其它調整都將使波動強度增加,
調整1,2波動強度不變.…(11分)
所以只能將排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6調整為排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6.
對于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6,仍然是除調整2,1外,其它調整都將使波動強度增加,所以仍只能調整1,2兩個數字.
如此不斷循環下去,不可能經過有限次調整使其波動強度降為9.…(13分)
點評:本題考查排列組合的實際應用,本題解題的關鍵是題干比較長,首先要理解題意,看懂題目中所出現的新概念,并且能夠簡單的使用新概念.
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