Question

（2008•宣武區一模）已知函數f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是減函數，求a的最大值；
（2）若f（x）的單調遞減區間是(-

1

3

，1)，求函數y=f（x）圖象過點（1，1）的切線與兩坐標軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，則問題等價于f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，從而問題得解；
（2）利用f（x）的單調遞減區間可知f′（x）=3x²+2ax-1=0的兩個根為 -

1

3

和1，從而可求函數的解析式；由于（1，1）可能是切點，也有可能不是切點故進行分類討論求切線方程，進而求面積．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax-1，由題意可知，f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，則f′（0）≤0且f′（1）≤0，得a≤-1，所以a的最大值為-1 …．（5分）
（2）∵f（x）的單調遞減區間是(-

1

3

，1)，∴f′（x）=3x²+2ax-1=0的兩個根為 -

1

3

和1，
可求得a=-1，∴f（x）=x³-x²-x+2，
①若（1，1）不是切點，則設切線的切點為（x₀，y₀），（x₀≠1），則有

y0-1

x0-1

=3

x

2 0

-2x0-1y₀=3x₀²-2x₀-1，解得x₀=1（舍），x₀=0，∴y₀=2，k=-1
②若（1，1）是切點，則k=f′（1）=0
綜上，切線方程為y=1，x+y-2=0∴這兩條切線方程與兩坐標軸圍成的圖形為直角梯形
它的面積S=

1

2

(1+2)=

3

2

…..（13分）

點評：本題利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是理解并掌握函數的導數的符號與函數的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數符號得出單調性，一類是由單調性得出導數的符號．