Question

定義在R上的奇函數f（x）滿足當x＞0時f（x）=x²-2x+2．
（1）求f（f（-1））的值
（2）求f（x）的解析式
（3）在所給坐標系中畫出f（x）的圖象，寫出單調區間．

Answer 1

分析：（1）易求f（1），所以f（-1）=-f（1），進而可求得f（f（-1））的值；
（2）只需求x≤0時f（x）表達式，由f（-0）=-f（0）可得f（0），x＜0時，先求f（-x），根據f（x）與f（-x）關系可得f（x）；
（3）由（2）可作出f（x）草圖，根據圖象可得其單調區間；

解答：解：（1）因為f（x）為奇函數，
所以f（-1）=-f（1）=-（1-2+2）=-1，
所以f（f（-1））=f（-1）=-1；
（2）由奇函數性質可得，f（-0）=-f（0），解得f（0）=0；
當x＜0時，-x＞0，則f（-x）=（-x）²-2（-x）+2=x²+2x+2，
所以f（x）=-f（-x）=-x²-2x-2；
所以f（x）=

-x2-2x-2，x＜0 0，x=0 x2-2x+2，x＞0

；
（3）由（2）作出f（x）的圖象如右所示：
根據圖象可得增區間為：（-∞，-1）和（（1，+∞）；減區間為：（-1，0）和（0，1）．

點評：本題考查函數的奇偶性及其應用，屬基礎題．