Question

已知在函數f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點P（1，-2）處的切線方程為y=-3x+1．
（1）若函數f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，若f（x）=k在區間[-3，1]上有兩個不同的解，求實數k的取值范圍；
（3）函數f（x）在區間[-2，0]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由題意可得

f(1)=-1+a+b+c=-2 f′(1)=-3+2a+b=-3 f′(-2)=-12-4a+b=0

，解得即可．
（2）利用f′（x）=0，解得x=

2

3

或-2．在求出f（-3），f（-2），f(

2

3

)，f（1），畫出圖象得出k的取值范圍．
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．由函數f（x）在區間[-2，0]上單調遞增，可得f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，轉化為b≥

-3x2

x-1

在區間[-2，0]上恒成立．令g(x)=

-3x2

x-1

，利用導數求出其最大值．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由題意可得

f(1)=-1+a+b+c=-2 f′(1)=-3+2a+b=-3 f′(-2)=-12-4a+b=0

，解得

a=-2 b=4 c=-3

，
經驗證滿足條件，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）∵f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）=0，解得x=

2

3

或-2．
∵f（-3）=-6，f（-2）=-11，f(

2

3

)=-

41

27

，f（1）=-2．
畫出圖象可知：當-11＜k≤-6或-2≤k＜-

41

27

時，f（x）=k在區間[-3，1]上有兩個不同的解；
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．
∵函數f（x）在區間[-2，0]上單調遞增，∴f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，
∴b≥

-3x2

x-1

在區間[-2，0]上恒成立．
令g(x)=

-3x2

x-1

，則g′(x)=

-3x(x-2)

x-1

≥0，
∴g（x）在區間[-2，0]上單調遞增，得g（x）_max=0．
∴b≥0．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、數形結合等是解題的關鍵．