Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

4

)，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]內的單調遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=x₀處取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）的值．

Answer 1

分析：（1）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3

2

π，可得kπ+

3

8

π≤x≤kπ+

7

8

π(k∈Z)，結合x∈[0，π]可求．
（2）f（x₀）為最大值可得，2x0-

π

4

=2kπ+

π

2

解出x₀，代入函數(shù)可求．

解答：解：（1）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3

2

π 
可得2kπ+

3

4

π≤2x≤2kπ+

7

4

π
得kπ+

3

8

π≤x≤kπ+

7

8

π(k∈Z)
而x∈[0，π]當k=0時，x∈[

3

8

π，

7

8

π]
即f（x）在[0，π]內遞減區(qū)間為[

3

8

π，

7

8

π]
（2）∵f（x₀）為最大值
則2x0-

π

4

=2kπ+

π

2

可得，x0=kπ+

3

8

π(k∈Z)，2x0=2kπ+

3

4

π(k∈Z)，3x0=3kπ+

9

8

π(k∈Z)，，
∴f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）
=2+2sin(4x0-

π

4

)+2sin(6x0-

π

4

)=2+2sin(4kπ+

5

4

π)+2sin(6kπ+2π)
=2+2sin

5

4

π=2-2×

2

2

=2-

2

點評：本題主要考查三角函數(shù)的單調區(qū)間的求解，函數(shù)取得最值的條件，及由角求解三角函數(shù)值等知識的簡單綜合，屬于中檔試題．