Question

設

a

、

b

是兩個不共線的非零向量（t，m∈R）
（1）若

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

(

a

+

b

)，當t為何值時，A、B、C三點共線？
（2）若|

a

|=|

b

|=1，且

a

與

b

的夾角為120°，當m為何值時|

a

-m

b

|的值最小？

Answer 1

分析：（1）由三點A，B，C共線，結合向量的共線定理可知，必存在一個常數λ使得

AB

=λ

BC

，由此等式建立起關于λ，t的方程求出t的值；
（2）由題設條件，可以 把|

a

-m

b

|表示成關于實數x的函數，根據所得的函數判斷出它取出最小值時的x的值．

解答：解：（1）由三點A，B，C共線，必存在一個常數λ使得

AB

=λ

BC

，
則有

OB

-

OA

=λ(

OC

-

OB

)
又

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

(

a

+

b

)
∴t

b

-

a

=

1

3

λ(

a

+

b

)-λt

b

，又

a

、

b

是兩個不共線的非零向量
∴

t+λt- 1 3 λ=0 1 3 λ=-1

解得

λ=-3 t= 1 2

故存在 t=

1

2

時，A、B、C三點共線
（2）∵|

a

|=|

b

|=1且

a

，

b

兩向量的夾角是120°
∴|

a

-m

b

| 2=

a

2-2m

a

•

b

+m2

b

2=1+m+m²=（m+

1

2

）²+

3

4

∴當m=-

1

2

時，|

a

-m

b

|的值最小為

3

2

點評：本題考查平面向量的綜合題，解題的關鍵是熟練掌握向量共線的坐標表示，向量的模的坐標表示，理解題設條件，正確轉化．本題把三點共線轉化為了向量共線，將模的最小值求參數的問題轉化為求函數的最小值，解題時要注意恰當地運用轉化、化歸這一數學思想