Question

如圖，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中點.

（1）求證：平面O₁AC平面O₁BD
（2）求二面角O₁－BC－D的大小；
（3）求點E到平面O₁BC的距離.

Answer 1

(1)只需證BD⊥面O₁AC即可；(2)  ；(3) 。

解析試題分析：（1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴AA₁⊥面AC，又BD?面AC，所以AA₁⊥BD．      又∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AA₁∩AC=A
所以BD⊥面AA₁C。                                          
即BD⊥面O₁AC，又BD?面O₁BD，
所以平面O₁AC⊥平面O₁BD． 
（2）解：過O作OH⊥BC于H，連接O₁H，則∠O₁HO為二面角O₁-BC-D的平面角．    
在Rt△BHO中，OB=2，∠OBH=60°，∴OH=
又O₁O∥A₁A，∴O₁O⊥OH．∴tan∠O₁OH= .故二面角O₁-BC-D的大小為.
（3）因為E為AO₁的中點，所以OE//O₁C，所以E到面O₁BC的距離等于O到面O₁BC的距離，根據等積法即可求出點E到平面O₁BC的距離為。
考點：面面垂直的判定定理；二面角；點到面的距離。
點評：本題以直四棱柱為載體，考查面面垂直，考查面面角，解題的關鍵是利用面面垂直的判定，正確作出面面角．