Question

在x+的取值范圍內(nèi)定義函數(shù)f(x)，使得f(x+)=x²+求f(x)的表達(dá)式及定義域.

Answer 1

答案：
解析：

解：方法一：∵f(x+)=x2+＝（x+）2－2, ∴f(x)=x2－2,這里將x2+變形(配湊)為(x+)2－2可清楚地看出“程序”f是對(duì)“信息”先平方，再從結(jié)果中減去2，此法稱為“配湊法”.它需要較強(qiáng)的恒等變形能力. 方法二：令t=x+, ∵t2=(x+)2=x2++2, ∴x2+=t2－2于是f(t)=t2－2. ∴f(x)=x2－2. 這種方法稱為換元法，也是求函數(shù)解析式的方法，但要注意換元時(shí)兩個(gè)變量的取值范圍的等價(jià)性. ∵x+的取值范圍是x≠0時(shí)，t=x+的范圍為 （－∞，－2∪［２，＋∞］. ∴f(x)的定義域?yàn)椋海ǎ�∞，�?∪  ［２，＋∞.

提示：

可以形象地把“f”理解為一種“程序”，對(duì)輸入來的“信息”，通過它輸出“訊號(hào)”，如f(x)=其“程序”f就是將“信息”x從1中減去，再取倒數(shù)(為此，勢(shì)必要求“信息”x≠1，否則1－x=0，將使這一步無法進(jìn)行)，所以當(dāng)已知f(x)的解析式求f(x+1)，f［f(x)］時(shí)，只須分別將x+1、f(x)代入f(x)的解析式即可.結(jié)合本題的已知條件和所求問題即可理解為：已知輸入“信息”是x+時(shí)，通過“程序”f輸出“訊號(hào)”x2+，問當(dāng)輸入“信息”是x時(shí)，輸出“訊號(hào)”f(x)是什么? 解決問題的關(guān)鍵是要弄清楚“程序”f是怎樣對(duì)“信息”x+作用(施行了什么運(yùn)算?)而得到輸出“訊號(hào)”x2+的.