Question

某魚塘2009年初有魚10（萬條），每年年終將捕撈當年魚總量的50%，在第二年年初又將有一部分新魚放入魚塘．根據養魚的科學技術知識，該魚塘中魚的總量不能超過19.5（萬條）（不考慮魚的自然繁殖和死亡等因素對魚總量的影響），所以該魚塘采取對放入魚塘的新魚數進行控制，該魚塘每年只放入新魚b（萬條）．
（I）設第n年年初該魚塘的魚總量為a_n（年初已放入新魚b（萬條），2010年為第一年），求a₁及a_n+1與a_n間的關系；
（Ⅱ）當b=10時，試問能否有效控制魚塘總量不超過19.5（萬條）？若有效，說明理由；若無效，請指出哪一年初開始魚塘中魚的總量超過19.5（萬條）．

Answer 1

分析：（I）由題意知2010年初該魚塘的魚總量為a1=10×(1-

1

2

)+b=5+b，然后根據此規律得到an+1=

1

2

an+b(n∈N*)；
（Ⅱ）把b=10代入得到{a_n-20}是首項為-5，公比為

1

2

的等比數列，即可得到a_n的通項公式，令a_n＞19.5，解出n的值，然后從2010算出第幾年無效即可．

解答：解：（I）依題意，a1=10×(1-

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2

)+b=5+b，
an+1=

1

2

an+b(n∈N*)
（Ⅱ）當b=10時，an+1=

1

2

an+10，?an+1-20=

1

2

(an-20)，
所以{a_n-20}是首項為-5，公比為

1

2

的等比數列．
故an-20=-5×(

1

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)n-1，
得an=20-5×(

1

2

)n-1=20-10×(

1

2

)n
若第n年初無效，則20-10×(

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)n＞19.5?2ⁿ＞20?n≥5．
所以n≥5，則第5年初開始無效．
即2014年初開始無效．

點評：考查學生利用數列解決實際問題的能力，以及會找等比關系，會求等比數列的通項公式．