Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程的兩實(shí)根，且a₁=1．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和．問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程的兩實(shí)根，
∴…（2分）
∵．
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，即
∴
=．…（8分）
因此，
要使b_n＞λS_n，對(duì)?n∈N^*都成立，
即（*） …（10分）
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：
即，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/529564.png' />為奇數(shù)）的最小值為1．所以λ＜1．…（12分）
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：，即
∵2ⁿ-1＞0，∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，
∵為偶數(shù)）的最小值為，∴．
∴存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)?n∈N^*都成立時(shí)λ的取值范圍為（-∞，1）．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用韋達(dá)定理，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）分別求出b_n、S_n，從而可得不等式，分類討論，即可求出λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查恒成立問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．