Question

把正整數按“S”型排成了如圖所示的三角形數表，第n行有n個數，設第n行左側第一個數為a_n，如a₅=15，則該數列{a_n}的前n項和T_n（n為偶數）為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：方法一：（特值法）根據T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入選項，排除C、D，再代入n=4，可判斷選項；
方法二：因為當n為奇數時，，當n為偶數時，a_n=a_n-1+1，然后利用分組求和法求出數列{a_n}的前n項和T_n（n為偶數），可得結論．
解答：解：方法一：（特值法）因為T₂=a₁+a₂=3，把n=2代入選項，排除C、D，再代入n=4，因為T₄=16，B選項滿足，故選B．
方法二：因為當n為奇數時，，當n為偶數時，a_n=a_n-1+1，
故n是偶數時，T_n=a₁+（a₁+1）+a₃+（a₃+1）+…+a_n-1+（a_n-1+1）
=2a₁+1+2a₃+1+…+2a_n-1+1
=
=
=（1²+1）+（3²+3）+…+[（n-1）²+（n-1）]
=[1²+3²+5²+…+（n-1）²]+[1+3+…+（n-1）]
令S=1²+2²+…+（n-1）²+n²，A=1²+3²+5²+…+（n-1）²，B=2²+4²+6²+…+n²，
A-B=1²-2²+3²-4²+5²-6²+…+（n-1）²-n²=-1-2-3-4-…-（n-1）-n=，
又，得=
則 T_n===．
故選B．
點評：本題主要考查了數列的求和，以及特殊值法的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．