Question

已知平面上一定點C（-1，0）和一直線l：x=-4，P（x，y）為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點O是坐標原點，過點C的直線與點P的軌跡交于A，B兩點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設P（x，y），則由已知得Q（-4，y），又C（-1，0），
∴=（-4-x，0），=（-1-x，-y），
∵．
∴（-6-3x，-2y）•（-2+x，2y）=0，
故．
（2）設過點C的直線斜率存在時的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由?（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
∴，
，
令
=
∵k²≥0，
∴
∴
當過點C的直線斜率不存在時，其方程為x=-1，解得
此時，
所以的范圍是
分析：（1）設P（x，y），由題意可得Q（-4，y），又C（-1，0），結合即可求得點P的軌跡方程；
（2）設過點C的直線斜率存在時的方程為y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韋達定理，可化為：，從而可求其取值范圍；當過點C的直線斜率不存在時可解得A、B兩點的坐標從而可補充前者所求的的取值范圍．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查向量在幾何中的應用，突出方程思想，轉化思想的考查與運用，屬于難題．