Question

【題目】給定函數，若存在實數對，使得對定義域內的所有，恒成立，則稱為“函數”.

（1）判斷函數，是不是“函數”；

（2）若是一個“函數”，求所有滿足條件的有序實數對；

（3）若定義域為的函數為“函數”,且存在滿足條件的有序實數對，當時,函數的值域為，求當時, 函數的值域

Answer 1

【答案】是,理由見解析;;

【解析】

分別假設函數，是“函數”，列出方程對任意恒成立即可;

根據題中的定義,列出方程對任意恒成立,通過整理化簡,令未知數的系數和常數項的對應相等求出滿足條件的有序實數對即可;

根據題中的定義,列出兩個恒等式成立,將用替換,兩等式結合得到函數值的遞推關系,用不完全歸納法求出值域.

函數，是“函數”,理由如下:

對于函數,因為,

所以要使對定義域內的所有，恒成立,只需實數對滿足即可,這樣的實數對有無數對,故函數是“函數”;

對于函數,因為對任意恒成立,

所以要使對定義域內的所有，恒成立,只需實數對滿足即可, 這樣的實數對有無數對,故函數是“函數”.

因為是一個“函數”,

所以對于任意恒成立,

因為,

所以對于任意恒成立,解得,

所以所求的有序實數對為.

由題意知, ,

因為,

即有,當時,,

因為函數的值域為,,

所以的值域為,即時,,

因為所以,

所以時,；時,，

依次類推,時,,

所以時,,

即有時,,

又因為,所以時,，

綜上可知, 當時, 函數的值域為.