Question

如圖所示，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．

(1)證明：PA∥平面EDB；

(2)求EB與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

解：(1)如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=，連接AC交BD于G，

連接EG，依題意得A(，0，0)、P(0，0，)、E(0，，)．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為(，，0)，

∴  ∴，

這表明PA∥EG，而EG平面EDB，且PA平面EDB，

∴PA//平面EDB．

(2)由題意得=(，，)，又PD⊥面ABCD，則為其法向量．

又 (0，0，1)．∴，

又所求角應小于90°，即，則，

∴，

    ∴所求角即的余角的正切值為．