Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F₁，F₂，若雙曲線上存在一點P，滿足|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線離心率的取值范圍為（　　）

A．（1，3]

B．（1，3）

C．（3，+∞）

D．[3，+∞）

Answer 1

分析：設P點的橫坐標為x，根據|PF₁|=2|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a），利用雙曲線的第二定義，可得x關于e的表達式，進而根據x的范圍確定e的范圍．

解答：解：設P點的橫坐標為x
∵|PF₁|=2|PF₂|，P在雙曲線右支（x≥a）
根據雙曲線的第二定義，可得2e（x-

a2

c

）=e（x+

a2

c

）
∴ex=3a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴3a≥ea，∴e≤3
∵e＞1，∴1＜e≤3
故選A．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了雙曲線的第二定義的靈活運用，屬于基礎題．