Question

18、如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁中點．
（1）求證：A₁C∥平面BDE；
（2）求證：平面C₁BD⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接EO，根據平行四邊形對角線互相平分的性質，結合E是AA₁中點和三角形中位線定理和線面平行的判定定理，我們易得A₁C∥平面BDE；
（2）根據正方體的幾何特征，我們易判斷BD⊥A₁C及BC₁⊥A₁C，結合線面垂直的判定定理，我們可得EO⊥平面BDC₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．

解答：證明：（1）連接AC交BD于O，連接EO．（2分）
在△AA₁C中，E、O均為中點．
∴EO∥A₁C，又EO?平面BDE．（4分）
∴A₁C∥平面BDE．（6分）
（2）依題意：BD⊥AC，BD⊥AA₁
∴BD⊥平面AA₁C
∴BD⊥A₁C（8分）
同理BC₁⊥A₁C
∴A₁C⊥平面BDC₁，又EO∥A₁C
∴EO⊥平面BDC₁．（12分）
又EO?平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定及平面與平面垂直的判定，其中熟練掌握線面平行、面面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關鍵．