Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+x2 （a為實常數）．
（1）當a=﹣4時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數；
（3）若 a＞0，且對任意的x1 ， x2∈[1，e]，都有|f（x1）﹣f（x2）| ，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣4時， ，

當 時，f'（x）＜0；當 時，f'（x）＞0．

∴f（x）的單調遞減區間為 ，單調遞增區間為

（2）解：當x=1時，方程f（x）=0無解．

當x≠1時，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價于方程 （x∈（1，e]）．

設g（x）= ，則 ．

當 時，g'（x）＜0，函數g（x）遞減，

當 時，g'（x）＞0，函數g（x）遞增．

又g（e）=e2， ，作出y=g（x）與直線y=﹣a的圖像，

由圖像知：

當2e＜﹣a≤e2時，即﹣e2≤a＜﹣2e時，方程f（x）=0有2個相異的根；

當a＜﹣e2或a=﹣2e時，方程f（x）=0有1個根；

當a＞﹣2e時，方程f（x）=0有0個根

（3）解：若a＞0時，f（x）在區間[1，e]上是增函數，函數 在區間[1，e]上是減函數．

不妨設1≤x1≤x2≤e，

則|f（x1）﹣f（x2）| 等價于 ．

即 ，

即函數 在x∈[1，e]時是減函數．

∴ ，即 在x∈[1，e]時恒成立．

∵ 在x∈[1，e]時是減函數，∴ ．

所以，實數a的取值范圍是 ．

【解析】（1）當a=﹣4時，利用導數的運算法則可得 ，在區間（0，+∞）上分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出單調區間；（2）當x=1時，方程f（x）=0無解．當x≠1時，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價于方程 （x∈（1，e]）．
設g（x）= ，則 ．分別解出g′（x）＞0與g′（x）＜0即可得出單調性，
又g（e）=e2 ， ，作出y=g（x）與直線y=﹣a的圖像，由圖像可知a的范圍與方程根的關系；（3）若a＞0時，f（x）在區間[1，e]上是增函數，函數 在區間[1，e]上是減函數．
不妨設1≤x1≤x2≤e，則|f（x1）﹣f（x2）| 等價于 ．
即 ，即函數 在x∈[1，e]時是減函數．
可得 ，即 在x∈[1，e]時恒成立．再利用 在x∈[1，e]時是減函數，即可得出實數a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．