Question

如圖，在底面半徑為3，母線長為5的圓錐中內接一個高為x的圓柱．
（1）求圓錐的體積．
（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，先求出圓錐的高，利用圓錐的體積公式求得圓錐的體積V_錐=×π×9×4，運算求得結果．
（2）在△PEB中，FN∥BE，利用成比例線段求出FN=，代入圓柱的側面積S化簡可得S=-x² +6πx，是一個開口向下，對稱軸為x=2的拋物線，利用二次函數的性質求出它的最大值．
解答：解：（1）如圖所示：∵圓錐的高 ，
故圓錐的體積V_錐=×π×9×4=12π．
（2）在△PEB中，FN∥BE，則，則  ，解得FN=．
圓柱的側面積S=2π×rx=2π  x=-x² +6πx，
S的圖象是一個開口向下，對稱軸為x=2 的拋物線，且0＜x＜4．
故當x=2時，圓柱的側面積S有最大值為6π．
點評：本題主要考查求圓錐的體積，圓柱的表面積的計算方法，二次函數的性質的應用，屬于中檔題．