Question

觀察
（1）tan5°tan15°+tan5°tan70°+tan15°tan70°=1
（2）tan10°tan25°+tan25°tan55°+tan10°tan55°=1
（3）tan20°tan30°+tan20°tan40°+tan30°tan40°=1
由以上三式成立，推廣到一般結論，寫出一般結論，并證明．

Answer 1

分析：由題意得，式子中共有三個角，最大角與最小角的和與另一個角互余，結論是：其中任意兩個角的正切值之積相加得到的和為1．利用互余的兩個角的正切值等于1，兩角和的正切公式
的變形公式證明等式成立．

解答：解：設 0°＜α＜β＜γ＜90°，且α+β+γ=90°，則由題中所給的三個式子可得 tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=1．
證明：∵α+β=90°-γ，∴tan（α+β）•tanγ=1．
∴tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=tanα•tanβ+（tanα+tanβ）•tanγ=tanα•tanβ+tan（α+β）（1-tanαtanβ）tanγ
=tanα•tanβ+（1-tanαtanβ）=1，
故tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=1 成立．

點評：本題主要考查歸納推理，分析出式子中三個角的關系，是解答本題的關鍵，以及互余的兩個角的正切值等于1，兩角和的正切公式的變形應用，屬于基礎題．