Question

設函數f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，求f（x）解析式．
（2）若A={1}，且f（x）在x∈[m，+∞）時的最小值為2m+1，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意知，1，2為方程x²+ax+b=x的兩個根，由根與系數的關系列出方程組即可求出a，b的值；
（2）由題意知，方程x²+ax+b=x有兩個相等的根，由根與系數的關系列出方程組即可求出a，b的值，得到函數解析式，根據二次函數求最值的方法，研究對稱軸與區間的位置關系分類討論，列出方程即可求出m的值．

解答：解：（1）f（x）=x²+ax+b=x，變形為x²+（a-1）x+b=0，
由已知其兩根分別為x₁=1，x₂=2，由韋達定理可知：x₁+x₂=-（a-1）=3，x₁ x₂=b=2
解得a=-2，b=2．
（2）由已知方程x²+（a-1）x+b=0有唯一根x₀=1，所以

△=(a-1)2-4b=0 1+(a-1)+b=0

，
解出a=-1，b=1，函數f（x）=x²-x+1，其對稱軸為x=

1

2

．下面分兩種情況討論：
若m≥

1

2

時，f(x)min=f(m)=m2-m+1=2m+1，解出m=3，
若m＜

1

2

時，f(x)min=f(

1

2

)=

3

4

=2m+1，解出m=-

1

8

，
綜上所述，m=3或-

1

8

．

點評：本題考查了集合與函數解析式的求解及常用方法，涉及了根與系數關系的應用，有關于二次函數求最值問題，一般考慮二次函數的對稱軸與區間的位置關系分類討論進行求解．屬于中檔題．