Question

某公司對營銷人員有如下規定：①年銷售額x在8 萬元以下，沒有獎金，②年銷售額x（萬元），x∈[8，64]，獎金y萬元，y∈[3，6]，y=log_ax，且年銷售額x越大，獎金越多，③年銷售額超過64萬元，按年銷售額x的10%發獎金．
（1）求獎金y關于x的函數解析式．
（2）某營銷人員爭取年獎金y∈[4，10]（萬元），年銷售額x在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）獎金y關于x的函數解析式是一個分段函數，其中y=log_ax在x∈[8，64]為增函數，可求得a值，再利用分段函數的形式寫出獎金y關于x的函數解析式即可；
（2）年獎金分為兩段：[4，6]，（6，10]，分別利用對于的解析式，解出相應的x，即可得到年銷售額的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，∵年銷售額x越大，獎金越多，∴y=log_ax在x∈[8，64]為增函數       …（1分）
∵年銷售額x（萬元），x∈[8，64]，獎金y萬元，y∈[3，6]，
∴x=8，y=3代入y=log_ax，得a=2         …（2分）
∴獎金y關于x的函數解析式y=

0，0≤x＜8 log2x，8≤x≤64 1 10 x，x＞64

…（6分）
（2）某營銷人員爭取年獎金y∈[4，10]（萬元），則

8≤x≤64 4≤log2x≤10

或

x＞64 4≤ 1 10 x≤10

…（10分）．
∴16≤x≤64或64＜x≤100
所以年銷售額x的范圍為[16，100]萬元…（12分）．

點評：本題以實際問題為載體，考查分段函數的運用，考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是確定第二段函數的解析式．